2023年10月19日 - 动态规划4

背包问题

• 01背包 n种物品，每种物品只有一个，每种物品都有重量和价值，背包最多承受m重量，如何放才能有更高的价值

• 完全背包 n种物品，每种物品有无限个

• 多重背包 n种物品，每种物品个数各不相同

一般来说，先遍历物品，再遍历背包即可

46. 携带研究材料

二维dp数组

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 ​
 int n, bagweight;// bagweight代表行李箱空间
 void solve() {
     vector<int> weight(n, 0); // 存储每件物品所占空间
     vector<int> value(n, 0);  // 存储每件物品价值
     for(int i = 0; i < n; ++i) {
         cin >> weight[i];
     }
     for(int j = 0; j < n; ++j) {
         cin >> value[j];
     }
     // dp数组, dp[i][j]代表行李箱空间为j的情况下,从下标为[0, i]的物品里面任意取,能达到的最大价值
     vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));
 ​
     // 初始化, 因为需要用到dp[i - 1]的值
     // j < weight[0]已在上方被初始化为0
     // j >= weight[0]的值就初始化为value[0]
     for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
         dp[0][j] = value[0];
     }
 ​
     for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历科研物品
         for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历行李箱容量
             // 如果装不下这个物品(>j而非bagweight)，就承dp[i - 1][j]的值
             if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 
             // 如果能装下,就将值更新为 不装这个物品的最大值 和 装这个物品的最大值 中的 最大值
             // 装这个物品的最大值由容量为j - weight[i]的包任意放入序号为[0, i - 1]的最大值 + 该物品的价值构成
             else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
         }
     }
     cout << dp[weight.size() - 1][bagweight] << endl;
 }
 ​
 int main() {
     while(cin >> n >> bagweight) {
         solve();
     }
     return 0;
 }

滚动数组（一维dp数组）

 // 一维dp数组实现
 #include <iostream>
 #include <vector>
 using namespace std;
 ​
 int main() {
     // 读取 M 和 N
     int M, N;
     cin >> M >> N;
 ​
     vector<int> costs(M);
     vector<int> values(M);
 ​
     for (int i = 0; i < M; i++) {
         cin >> costs[i];
     }
     for (int j = 0; j < M; j++) {
         cin >> values[j];
     }
 ​
     // 创建一个动态规划数组dp，初始值为0
     vector<int> dp(N + 1, 0);
 ​
     // 外层循环遍历每个类型的研究材料
     for (int i = 0; i < M; ++i) {
         // 内层循环从 N 空间逐渐减少到当前研究材料所占空间，从而每种物品不会被上一个状态影响
         for (int j = N; j >= costs[i]; --j) {
             // 考虑当前研究材料选择和不选择的情况，选择最大值
             dp[j] = max(dp[j], dp[j - costs[i]] + values[i]);
         }
     }
 ​
     // 输出dp[N]，即在给定 N 行李空间可以携带的研究材料最大价值
     cout << dp[N] << endl;
 ​
     return 0;
 }

416. 分割等和子集

 class Solution {
 public:
     bool canPartition(vector<int>& nums) {
         int sum = 0;
 ​
         // dp[i]中的i表示背包内总和
         // 题目中说：每个数组中的元素不会超过 100，数组的大小不会超过 200
         // 总和不会大于20000，背包最大只需要其中一半，所以10001大小就可以了
         vector<int> dp(10001, 0);
         for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
             sum += nums[i];
         }
         // 也可以使用库函数一步求和
         // int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
         if (sum % 2 == 1) return false;
         int target = sum / 2;
 ​
         // 开始 01背包
         for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
             for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
                 dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
             }
         }
         // 集合中的元素正好可以凑成总和target
         if (dp[target] == target) return true;
         return false;
     }
 };